Atom tereksitasi dan term simbol

Ditulis oleh Ramadhan wahyu

Dalam sebuah atom hidrogenik, keadaan n ≥ 2 disebut sebagai keadaan tereksitasi. Atom-atom dalam keadaan tereksitasi dengan ekses energi lebih besar dibandingkan energi keadaan dasar (n = 1) disebut sebagai atom-atom tereksitasi. Atom tereksitasi dapat dibentuk melalui kelebihan energi yang berasal reaksi kimia dalam sebuah pembakaran atau lecutan listrik. Berlawanan dengan atom hidrogenik, konfigurasi dari atom-atom tereksitasi secara umum sangat rumit, karena terdapat dua atau lebih elektron-elektron. Sekarang marilah kita mempelajari fungsi gelombang keadaan tereksitasi dari sebuah atom helium sebagai suatu contoh untuk sistem dengan elektron banyak. Kemudian kita akan juga mempelajari term simbol yang mana akan sangat berguna dalam klasifikasi spektroskopi tingkat-tingkat energi dan juga hubungannya dengan momentum sudut angular.

2.7.1 Keadaan dasar sebuah atom helium

Sebagaimana telah dipelajari, konfigurasi elektron untuk keadaaan dasar atom helium adalah (1s)². Dan hal ini berkaitan dengan fungsi gelombang determinan untuk konfigurasi ini yang diberikan oleh

(2.67)

Dalam hal ini, koordinat elektron dinyatakan secara sederhana dengan nomor 1 atau 2 sebagai ganti penulisan q₁ atau q₂. ψ₁ dan ψ₂ adalah fungsi orbital dari elektron termasuk di dalamnya spin dan mereka itu dibentuk dari sebuah kombinasi dari fungsi orbital dari koordinat spasial φ_1s dan fungsi spin α atau β.

(2.68)

(2.69)

Dengan menggunakan persamaan-persamaan ini dan memperluas determinan di atas, kita akan mendapatkan rumus berikut.

(2.70)

φ_1s(1)φ_1s(2) dalam rumus ini adalah simetrik terhadap permutasi elektron-elektron, sementara yang berada di dalam tanda { } bergantung pada spin dan bersifat antisimetrik terhadap permutasi dari elektron. Selanjutnya hal ini akan mengakibatkan bahwa secara keseluruhan rumus ini adalah simetrik(+1) x antisimetrik(-1) = antisimetrik(-1).

2.7.2 Keadaan tereksitasi dari sebuah atom helium

Marilah sekarang kita meninjau sebuah konfigurasi elektron (1s)¹(2s)¹, yang mana sebuah elektron dieksitasikan ke orbital 2s dari orbital 1s. Termasuk juga spin elektron, kita akan mendapatkan empat buah konfigurasi (a)-(d) sebagaimana ditunjukan dalam Gambar 2.9.
Dengan menggunakan fungsi orbital spasial φ1s dan φ2s bersama dengan fungsi spin α, β, marilah kita membentuk fungsi dengan sistem dua elektron. Kita akan mendapatkan fungsi simetrik dan antisimetrik sebagai berikut.

Gambar 2.9 Konfigurasi elektron untuk (1s)¹(2s)¹

Fungsi simetrik untuk bagian spasial diberikan oleh

(2.71)

Dan fungsi antisimetriknya untuk bagian spasialnya diberikan oleh

(2.72)

Terdapat tiga fungsi simetrik untuk bagian spin sebagai berikut

Dan fungsi spin antisimetrik diberikan oleh

(2.76)

Kombinasi dari fungsi-fungsi ini akan menghasilkan fungsi antisimetrik sebagai berikut.
Untuk fungsi spasial yang simetrik, terdapat hanya satu fungsi spin yang antisimetrik dan dengan demikian kita akan memperoleh

(2.77)

Keadaan tereksitasinya yang dinyatakan dengan persamaan ini disebut sebagai keadaan singlet.
Untuk fungsi spasial yang antisimetrik, terdapat tiga fungsi spin yang simetrik yang akan menghasilkan tiga buah kombinasi dari fungsi antisimetrik sebagai berikut.

Keadaan tereksitasi yang dinyatakan dengan fungsi-fungsi ini disebut sebagai keadaan triplet. Eksperimen menunjukkan bahwa keadaan triplet jauh lebih stabil dengan energi yang lebih rendah jika dibandingkan dengan keadaan singlet. Ini dapat dikonfirmasi dengan perhitungan teoritis terhadap nilai ekspektasi. Energi-energi untuk Φ₂, Φ₃, Φ₄ adalah sama dan mereka adalah keadaan terdegenerasi lipat tiga.

2.7.3 Momentum sudut dan simbol spektral untuk sistem elektron banyak

Dalam usaha untuk memahami keadaan tereksitasi dari atom-atom, momentum sudut perlu untuk dipelajari secara detil. Sebagaimana telah dipelajari pada bagian 1.13, momentum sudut adalah sebuah vektor dengan besaran dan arah. Momentum sudut angular dari sebuah sistem elektron banyak diberikan sebagai sebuah penjumlahan vektor dari setiap momentum sudut elektron-elektronnya dan disebut sebagai momentum sudut resultan. Penjumlahan yang demikian itu dapat dilakukan untuk momentum suidut orbital Î_i, momentum sudut spin _i dan momentum sudut total yang merupakan penjumlahan _i = Î_i + _i. Dengan demikian, momentum sudut orbital resultan , momentum sudut spin resultan dan momentum sudut total resultan didefinisikan dengan persamaan-persamaan berikut.

Karena _i = Î_i + _i, kita akan mendapatkan = +
Ketiga tipe momentum sudut untuk elektron akan memenuhi persamaan eigen sebagai berikut

Indeks bawah i harus dipasangkan pada operator dan bilangan kuantum dalam usaha untuk menandai elektron ke-i. Bilangan kuantum m untuk komponen harus memiliki indeks bawah yang menyatakan l, s, j.
Momentum sudut resultan yang diperkenalkan di atas harus juga memenuhi persamaan eigen yang sama sebagai berikut.

L, S, J adalah bilangan kuantum yang berhubungan dengan kuadrat dari operator dan M_L, M_S, M_J adalah bilangan kuantum yang berhubungan dengan komponen-komponennya. M_L, M_S, M_J sama dengan penjumlahan dari sumbangan tiap-tiap elektron.

Dengan menggunakan bilangan kuantum untuk momentum sudut resultan L, S, J dan bilangan kuantum utama n, tingkat energi atomik dinyatakan dengan simbol sebagai berikut.

(2.99)

Simbol ini sangat berguna dan penting, khususnya dalam spektroskopi atomik dan ini disebut sebagai term simbol. n adalah nilai maksimum di antara bilangan kuantum utama dari elektron dan nilai ini ditempatkan di atas. Untuk simbol {L} huruf besar S, P, D, F, G, H digunakan berkaitan dengan nilai L = 0, 1, 2, 3, 4, 5,. 2S + 1 disebut sebagai perkalian spin dan nilainya dihitung dari nilai S yang diletakkan pada bagian sebelah kiri dari huruf seperti S dan P yang berkaitan dengan simbol {L}; indeks atas untuk huruf {L} akan menjadi 3 untuk triplet dan 1 untuk singlet. Nilai dari J diletakkan sebagai indeks bawah pada sisi sebelah kanan dari hurif {L}. n dan J sering tidak dituliskan untuk penyingkatan kecuali pada saat dia diperlukan.

dan adalah saling berkomutasi dengan ??, operator Hamiltonian untuk sebuah atom berelektron banyak yang diberikan dalam persamaan (2.31). Karenanya, tingkat energi yang berkaitan dengan term simbol dengan kombinasi yang sama untuk L dan S dan konfigurasi elektron yang sama dan disebut sebagai bagian LS, adalah identik dan terdegenerasi. Untuk kasus terdegenerasi, indeks bawah sebelah kanan J dapat diabaikan, karena mereka tidak terlalu penting. Akan tetapi eksperimen terkadang
menunjukkan pemisahan dari bagian LS. Salah satu penyebabnya adalah interaksi spin-orbit, yang menghasilkan pemisahan yang proporsional hingga derajat ke empat dari bilangan atomik Z. Sehingga, efek ini akan sangat penting pada atom-atom berat. Pada sisi yang lain, terdapat pemisahan yang disebabkan oleh medan magnetik luar yang disebut sebagai efek Zeeman.
Dalam kasus atom hidrogenik, adalah sangat mudah untuk mendapatkan term simbol, karena sistemnya memiliki satu elektron. Sebagai contoh, marilah kita meninjau sebuah keadaan dari satu elektron 2p. Karena sebuah elektron 2p, n = 2 dan s = 1/2 dengan ms = ±1/2. Untuk sebuah sistem elektron tunggal, M_s = m_s dan dengan demikian S = 1/2 dan kemudian akan menghasilkan perkalian spin 2S + 1 = 2 x (1/2) + 1 = 2, yang disebut sebagai doblet. Dalam hal yang sama, yaitu M_l = m_l dan dengan demikian maka L = 1 dan ini akan berkaitan dengan huruf P untuk simbol {L}. Untuk menentukan besaran J, kita harus mengetahui aturan untuk nilai yang diijinkan untuk momentum sudut yang terkopel.

[Aturan untuk nilai-nilai yang mungkin dari momentum sudut yang terkopel]

Kita memperkenalkan sebuah momentum sudut terkopel = ₁ + ₂ di mana ₁ dan J₂ kedua-duanya adalah momentum sudut yang dapat komut satu dengan yang lainnya. Dengan menggunaka n bilangan kuantum J₁ dan J₂ untuk ₁ dan ₂, maka nilai yang diijinkan untuk bilangan kuantum J untuk kuadrat dari adalah sebagai berikut:

(2.100)

Karena adalah vektor yang tekopel dari L dan S , besaran dari momentum sudut terkopel memiliki nilai di antara nilai maksimum dari + dan minimum dari |L – S|. Dalam kasus sebuah elektron 2p, L = 1 dan S = 1/2, dan dengan demikian kasus yang mungkin adalah J = 1 + 1/2 = 3/2 atau J = 1-1/2 = 1/2. Term simbol untuk (2p)₁ diberikan oleh

Dua bentuk simbol ini memiliki kombinasi L dan S yang sama dan mereka dalam keadaan terdegenerasi jika interaksi spin-orbit dapat diabaikan. Dalam kasus atom hidrogen pemisahan yang disebabkan oleh interaksi spin-orbit sangatlah kecil dan ²P_1/2 hanya sebesar 0.365 cm^-1 lebih rendah dibandingkan dengan bentuk yang lain.
Contoh 2.5 Verifikasikan bahwa fungsi spin Γ₁ – Γ₄ untuk sebuah sistem dengan dua elektron (persamaan 2.73-2.76) adalah fungsi eigen dari operator komponen-z dari resultan antara momentum sudut dan spin _z dan dapatkan nilai individual dari M_s.
(Jawaban) Pertama turunkan persamaan-persamaan dalam bentuk _zΓ = M_ShΓ , dan kedua dapatkan nilai dari M_s.
(1) Γ₁ = α(1)α(2)

Dengan demikian Γ₁ adalah sebuah fungsi eigen dari S_z, dan bilangan kuantum M_s = 1.
(2) Γ₁ = β(1)β(2)

Dengan demikian Γ₂ adalah sebuah fungsi eigen dari S_z, dan bilangan kuantum M_s = &minus1.
(3) Γ₃ = {α(1)β(2)+β(1)α (2)}/√2

Dengan demikian Γ₃ adalah sebuah fungsi eigen dari S_z, dan bilangan kuantum M_s = 0.
(4) Γ₄ = {α(1) (2) – β (1) (2)}/√2

Dengan demikian Γ₄ adalah sebuah fungsi eigen dari S_z, dan bilangan kuantum M_s = 0.
Berikutnya marilah kita mempelajari term simbol dari keadaan tereksitasi (1s)¹(2s)¹ untuk sebuah atom He. Bilangan kuantum utama terbesar adalah untuk sebuah elektron 2s dan dengan demikian n = 2. Karena seluruh elektron berada dalam orbital s dengan m_l = 0, kemudian L = 0 + 0 = 0. Nilai dari S bergantung pada perlipatan (multiciplity) spin, berupa singlet atau tripet. Dari contoh 2.5, nilai yang mungkin untuk Ms adalah 0 dan ini akan memberikan kondisi S = 0 dan 2S + 1 = 0 + 1 = 1. Dari S = 0 dan L = 0, J = 0 + 0 = 0. Ini akan menghasilkan term simbol untuk keadaan singlet tereksitasi yang diberikan dengan 2¹S₀.
Untuk keadaan tereksitasi triplet, terdapat tiga nilai dari M_s, 1 untuk Γ₁, 0 untuk Γ₃, dan -1 untuk Γ₂, dan dengan demikian S =1. Dengan memperhatikan bahwa L = 0, kita menemukan J = 1 + 0 = 1 − 0 = 1. Ini akan memberikan term simbol keadaan tereksitasi triplet yang diberikan oleh 2³S₁.
Aturan-aturan berikut sangat berguna untuk mendapatkan term simbol.

[Bagaimana mendapatkan term simbol]

1. Ketika sebuah subkulit dalam kondisi penuh terisi oleh elektron, elektron-elektron dalam subkulit dapat tidak diperhitungkan karena kontribusi pada M_s dan M_L adalah sama dengan nol, sebagai contoh, untuk memperoleh term simbol untuk keadaan dasar Li (1s)²(2s)¹, kita mungkin hanya memperhatikan (2s)¹ dan mengabaikan (1s)².
2. Ketika sebuah subkulit dengan sebuah bilangan kuantum azimuth l dipenuhi oleh elektron, konfigurasinya dapat dinyatakan dengan (n{l})^(4l+2), dimana l = 0, 1, 2 masing-masing berkaitan dengan s, p, d. Sebuah pasangan subkulit yang tidak terisi penuh, (n{l})^(4l+2???i>k) dan (n{l})^(k), memberikan term simbol yang sama. Sebagai contoh, (2p)⁵ dan (2p)¹ akan memberikan himpunan yang sama dari simbol spektral, 2²P_3/2 dan 2²P_1/2.

Posted in: